哪些数学书让你相见恨晚？

显示全部楼层 · 2021-9-15 09:40:26

1. Abelian categories with applications to rings and modules by Popescu N.
这本书是 2021. 6. 25 的更新。
我为什么现在把这本书放在第一的位置？因为它解决了我困惑已久的问题，关于各种 abelian category 公理的问题。之前一段时间看 Tohoku 非常头疼，首先就是在第一章的公理，公理AB5)为什么包含AB4)？ Grothendieck 在那里阐述了 AB5)的两个等价形式，但没有证明其等价性。而在 Weibel 的书里面我还看过另一个 AB5)的等价形式即 filtered colimit 是 exact 的。这些为什么等价呢？他们没有证明。但是在这本书 Abelian categories with applications to rings and modules 里面，这些东西全部都有证明

哪些数学书让你相见恨晚？-1.jpg

另外，关于 snake lemma、five lemma、first isomorphism theorem之类的定理，大家都是利用 abelian category 上著名的原则，把 abelian category 看成 abelian group category 来证明，但是这却完全失去了 abelian category 固有的特点。部分命题在 abelian category 上的证明可以在这本书或者 Mitchell 的书里找到。不得不说，这本书(至少是第二章跟第三章)是很好的学习 abelian category 上的同调代数的参考资料。
2. Introduction to Topology and Modern Analysis by George F. Simmons

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点集拓扑是基础，大多数人学点集拓扑肯定不是单纯地为了学点集拓扑，一般要么是为了泛函分析里面的拓扑向量空间的理论，要么是为了代数拓扑。而这本书是为了前者准备的，它跟一般的点集拓扑教材截然不同，作者不是单单地停留在点集拓扑的层面上的，而是在 part two 里面讲了Banach space 跟 Hilbert space 里面的各种理论。在 part three 他甚至拔高到了算子代数。有一说一，第一次在那里看到 Gelfand mapping 把一个 Banach algebra 的 MaxSpec 当成是点集空间的时候，我还是非常不适应的，后来才知道这是代数几何里面的基础...... 最开始我还不明白点集拓扑拿来有什么用，就严格定义一下数分里面的概念吗？这本书给了我一个方向。
这书的证明很详细，作者也讲解的很耐心，里面还有一张梳理拓扑空间的图

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至于为代数拓扑奠基的点集拓扑教材，一般来说 Munkres 的是够了，但是他里面没有关于 function space 的内容，这至少在 Spanier 的代数拓扑书里面你是要知道的，这个你可以从 James Dugundji 的拓扑书里找到。
3. Algebra From the Viewpoint of Galois Theory by Siegfried Bosch

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这本书我是超级后悔在大一的时候错过了，我学抽象代数用的是 Jacobson 的书，但是现在来看他的书写得不好。而这本 Bosch 的关于抽象代数的书，它的主题是 Galois theory，作者从最最基础的群的概念开始讲起，包含了群环域的介绍。然后这本书的重点来了——Galois 理论，全书 2/3 的内容都是关于 Galois 理论的。它有重点，一般的抽象代数写得都像字典一样，没有重点，完全就是抽象概念的堆砌。他对 Galois 理论的讲解可谓是深入浅出，从一般的域扩张到环的 integral extension，从一元高次方程的解法到一般多项式的解法——代数几何，从 Galois extension 到 Galois descent 其中包括了一些 Galois cohomology (Hilbert 90)，以及一般的 Kummer extension 跟 Witt 向量，还专门给出一章写 Galois 理论的应用，最后还讲了 Transcendental Field Extensions 跟 Kahler Differentials。
一般的抽象代数教材假如要追求高层次高观点的话基本都是介绍跟 module 相关的理论，或者简单地讲讲范畴论，但是这本书的角度跟前者是完全不同的，它就好比是从一个很具体的角度来提高基本抽象代数的层次，而且对于初学者而言，它可以让你知道 Galois 理论的现代发展是怎么样的，以及各种抽象代数在里面的运用。
如果说还有缺点的话，我想应该就是他讲的 Galois 理论还不是完整的，缺了 Grothendieck 在这里的工作，不过那就不算是入门教材了。事实上，我觉得他可以添加 etale algebra 的内容，从 Grothendieck 的角度来看 Galois 理论，至于它跟 fundamental group 的联系那就算了。关于这后者有一本非常有意思的书 Galois Groups and Fundamental Groups by Tamás Szamuely，那里面的内容基本是 SGA 1 里面的。
4. Algebraic Geometry and Commutative Algebra by Siegfried Bosch

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也是同一个作者的书，我也是强烈推荐，我入门代数几何就是用的这本书。
前面一半内容是关于交换代数的，基本上该讲的他都讲了，而且很详细，基本上你不会在定理证明上卡住。不过这里没有讲 Hilbert 多项式，depth 和 Cohen-Macaulay Rings 之类的内容，但也基本涵盖了 Atiyah 那本书的知识，还有同调代数的内容(至少可以让你知道 resolution)。最重要的是，作者非常的有想法！他的理论介绍体系跟市面上的大多数类似的书是不一样的！比如在讲 flat 的时候，初级的教材谁会讲 faithfully flat，讲 faithfully flat descent？虽然讲了一些高深的内容，但是这书的门槛极低，基本上知道群环域就可以看懂了，也就是前面那本书的前三章。
总得来看这本书书 Qing Liu 那本前半部分的人加细版，但是 Bosch 处理得更加细致，更加老道。看过 Qing Liu 那本书的人不知道有没有这样的感受(我有)，它好像就是概念跟定理的堆砌，标准地先给出概念然后例子，然后定理，最后习题，没有什么 motivation。Bosch 的书可能讲的领域不广，但是它的深度却让人惊讶。
之后到代数几何部分的时候，我直接看到兴奋，再说一次，作者写教科书太有想法了！首先他是跟 Qing Liu 一样，跳过 variety 讲 scheme，初学者不是觉得这样没有 motivation 嘛，那他就给你造出一个来，从交换代数就一直在铺垫的 functorial point 现在才真正显示出威力。在 Part two 的导论部分，借助 Yoneda&#39;s Lemma 以及 scheme 作为一个函子的观点，他详细讲了里面的 functorial 性质，然后把这个作为 motivation，讲了局部化对于 solution functor(其实是 scheme！)有什么要求，然后自然地引出 scheme 的定义。scheme 本来就不是为了什么几何直观，而完全是为了 functorial！当时我就惊到了... 从这里大家也许可以感受到了这本书的风格——对，作者几乎不强调几何直觉... 里面的例子也少，完全不比52，但是他把一切你应该知道的东西都放在了理论本身的发展里面，他不是要你从例子中学会代数几何，而是要你在代数几何理论本身的发展中学会它。可能这跟作者是搞算术几何(主要是 rigid geometry)有关系吧。
另外，这本书非常贴近 EGA，不管是定义还是理论发展的模式，最典型的当然是 immersion 的定义，以及 valuative criteria on separateness 的阐述。他完全是按照 Grothendieck，把条件放在 morphism 上，而没有给 scheme 另外加上比如 locally Noetherian 的条件。
讲 sheaf 的时候也让人激动不已，他的 sheafification 不是用一般的方法，而是按照讲 etale cohomology 时的方法，也就是说这个 sheafification 适用在 Grothendieck topology 里面！把它定义为 0th Cech cohomology！这种方法在基础代数几何教材里面根本不可能遇到的，但是在讲 etale 的时候我们只能用这个办法，因为 etale topology 是 Grothendieck topology 而不是一般的拓扑空间里的拓扑。
另外，他还讲了一般情况下的 smooth 的 Jacobian 判别，etale morphism等等。最后一章从 projective scheme 讲到 Cartier divisor、ample and very ample invertible sheaves 以及 abelian variety。很新鲜的是，他的 ample invertible sheaves 的定义是用 quasi-affine scheme。
缺陷：这书除了例子少以外还有一个缺点就是关于 cohomology 的内容讲的不多，就讲了两节，一节是 cech，一节是 sheaf cohomology。自然，里面也没有介绍谱序列在其中的用法。我这里推荐补充读物，除了标准的 EGA III 外，可以考虑扶磊的代数几何的第二部分，以及 Mumford 最新出版的代数几何II 的第7章跟第8章，那里讲得深入不少(包括了使用 Leray spectral sequence)。
Bosch 还写过或者合著过 Non-Archimedean Analysis A Systematic Approach to Rigid Analytic Geometry、Néron Models、 Lectures on Formal and Rigid Geometry。事实上他受 Michel Raynaud 的影响还是很大的，不管是研究领域还是风格。最后那本讲 formal and rigid geometry 的书保持了他一贯的风格，抽象而又清楚明白，例子少，但是你却可以从理论本身的发展中学到很多东西。
5. Algebraic Geometry by Lei Fu

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现在确认了，扶磊的这本书应该单独推荐一下。第一次接触它是在上个学期的凝聚层上同调的讨论班里面。这个讨论班很有意思，说是讲凝聚层上同调，其实到了期末才到上同调，一学期基本只讲了扶磊这书的第一章。因此让我错过了它的第二章。有一说一，这本书第一章写得真的不好，想在 gtm52跟 EGA 之间综合，结果两边都不讨好，有些定义来自52，又有些来自 EGA，证明也两边讨好。但是第二章完全是按照 EGA III 的格式来的，而且还原得很好，虽然内容不如 EGA III 丰富。
首先第二章前面两节，一节讲导出函子，一节讲谱序列，这是对 Tohoku 非常好的解读跟总结，Grothendieck 在 Tohoku 里面的 gap 作者基本都填上了，有时候 Grothendieck 一句话带过的命题，作者也给出了详细的证明。后边讲 scheme 的上同调部分，也涵盖了 EGA III 里面大多数重要的内容，比如 Zariski main theorem。由于思路是按照 EGA 来的，而且填上了 gap，因此非常好读。
缺点：缺少例子。这本书跟 EGA 的风格差不多，因此缺乏例子，里面基本都是定理跟证明，就算是例子也是来自 EGA，比较抽象的那种。

6. Sheaf Theory by B. R. Tennison

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这本书比较基础，算是对传统 sheaf theory 的简单介绍，里面包括了 cech cohomology 以及 sheaf cohomology。最开始我是因为厌烦了 Rotman 同调代数里面对 sheaf 的讲解，然后才看这本的，后来觉得这本书写得确实不错，很基础，各种东西都给你讲明白了。里面也有用 ringed space 给各种几何对象比如 smooth manifold、Riemann surface、complex manifold等下定义。
要说缺点的话，我想应该就是这本书的内容太基础了，刚到让人兴奋的地方就戛然而止，这跟 Bosch 完全不同，后者是让你兴奋过头。因此对于这本书我觉得应该配上补充的读物，而最适合的其实是 Topologie algébrique et théorie des faisceaux by Roger Godement ，太多太多关于传统 sheaf theory 的书基本都是照搬 Godement 的，还有，数学的法语阅读其实不难。假如实在不想看法语的书，也可以考虑Cohomology of Sheaves by Birger Iversen，他讲了很多 sheaf 在其他领域的应用，比如 de Rham cohomology 可以用 sheaf 来导出，不过这书有点厚，也有点难... 毕竟主要内容是关于 Borel—Moore homology 的。
7. Sheaves in Geometry and Logic a First Introduction to Topos theory by Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk

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这本书非常经典，我觉得是最好的入门 topos 的书。作者把 topos 的背景以及发展讲的很好，尤其是 Lawvere 创建 elementary topos 那部分内容。他们从初级的范畴论开始讲起，默认读者会 Yoneda lemma 这些基础内容，然后引出 subobject classifier。接着讲 sheaf，Grothendieck topology，从 Grothendieck topos 进入 elementary topos，讲了两者的联系以及相关背景，为什么 Lawvere 会借助 Grothendieck 的定义。之后他们讲了 topos 对传统集合论的解构以及重建，尤其是对力迫法的替换。最后则是拿 topos 来为各种对象分类，这也是它最主要的应用之一。像 Maclane 其他书一样，这本书可读性非常强，对读者的基础要求也不高，基本都是对范畴论的要求，而不要什么代数几何背景。
但是，这书也有缺点，由于两个作者都不是搞代数几何的，他们在第三章对 Site 跟 Grothendieck topos 的阐述刻意略去了代数几何的背景，我觉得这是非常可惜的。而且，他们对 Grothendieck topos 产生的背景我觉得也阐述不到位，这是不能不提到 etale 的。同时，他们把 Galois 理论跟基本群的相似现象想得太简单了，具体的内容可以看我的文章 The Origin of Etale Topology 。
8. Mathematics: Form and Function by Maclane

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第一次接触这本书是大一下，这本书是我目前见到的在有关数学哲学的书里面对数学要求最高的，也是在数学书里面对哲学要求最高的。现在一般有关数学哲学的书以前都是有关欧氏几何的，现在都是集合论，都是些老生常谈的东西，那些作者根本没有从具体数学里面汲取形而上学的能力，他们有些甚至根本不知道现在的数学研究在干嘛。而 Maclane 本身就是很厉害的数学家，他身上哲学气质也很浓郁。这本书前面涉及了大部分的基础数学，比如点集拓扑、微分流形、黎曼几何之类的，尤其讲了范畴论的哲学。并且作者在最后几章里面阐述了自己的数学哲学思想，回答了很多经典问题，比如数学是被发现的还是被发明的，数学科学的分类是什么，数学的形式推理是从现实推导出来的吗或者说数学只是纯粹的游戏，数学是如何发展的，我们怎么评估一个数学成果的深度以及重要性等等。
我自认为，这样的书里面所得到的结果会更加可靠，那些不谈具体的数学研究，张口闭口就是什么哥德尔不完备定理表达了什么哲学、连续统假设有什么哲学意义之类的人，他们对数学发表看法究竟有多少可信度呢？虽然我很佩服 Wittgenstein，但我也承认他的《数学基础研究》对于数学而言没有什么价值，在那里他几乎不涉及现代数学，而把讨论都集中在语言层次上的。
9. From a Geometrical point of view：A Study of the History and Philosophy of Category Theory

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这本书很有意思，作者把范畴论的起源追溯到 Klein 的埃尔朗根纲领，从而还原到了它的几何背景。里面史料内容非常丰富，有各种论文以及书信的内容，作者很人性化，法语或德语的内容给出了自己的翻译，同时在注释里给出了原文。这书对范畴论的研究还是非常深入的，从它的诞生到 Lawvere 的 elementary topos，介绍了现代的 Geometric Logic，中间大部分内容的重点是 Kan 研究出来的 adjoint。准确地说，这本书不是休闲书，而是一本研究型的专著，参考文献之类的都非常详实准确。而且，在讲 elementary topos 的时候，他基本把 Lawvere 前期的论文挨个分析了一遍，因此这本书也能当作研究 Lawvere 思想的著作。
虽然我没把这本书看完，但是感觉作者虽然说是从几何角度看待范畴论，但是他好像就只是追溯到了埃尔朗根纲领，以及说几何逻辑里面的 topos 从代数几何中诞生，然后基本没有什么纯粹的几何内容了。事实上，我认为范畴论不单单有所谓的几何背景，它更多的其实反映了我们对空间的理解，尤其是对空间延展性的理解。这部分也是我最近主要思考的内容，之前那则借助海德格尔哲学里面的两个概念——“上手状态”和“在手状态”来得到点集拓扑起源的想法算是这思考的成果之一。

（未完待续)

灰色女巫心誓 · 2021-9-15 19:16:29

1. Abelian categories with applications to rings and modules by Popescu N.
这本书是 2021. 6. 25 的更新。
我为什么现在把这本书放在第一的位置？因为它解决了我困惑已久的问题，关于各种 abelian category 公理的问题。之前一段时间看 Tohoku 非常头疼，首先就是在第一章的公理，公理AB5)为什么包含AB4)？ Grothendieck 在那里阐述了 AB5)的两个等价形式，但没有证明其等价性。而在 Weibel 的书里面我还看过另一个 AB5)的等价形式即 filtered colimit 是 exact 的。这些为什么等价呢？他们没有证明。但是在这本书 Abelian categories with applications to rings and modules 里面，这些东西全部都有证明

另外，关于 snake lemma、five lemma、first isomorphism theorem之类的定理，大家都是利用 abelian category 上著名的原则，把 abelian category 看成 abelian group category 来证明，但是这却完全失去了 abelian category 固有的特点。部分命题在 abelian category 上的证明可以在这本书或者 Mitchell 的书里找到。不得不说，这本书(至少是第二章跟第三章)是很好的学习 abelian category 上的同调代数的参考资料。
2. Introduction to Topology and Modern Analysis by George F. Simmons

点集拓扑是基础，大多数人学点集拓扑肯定不是单纯地为了学点集拓扑，一般要么是为了泛函分析里面的拓扑向量空间的理论，要么是为了代数拓扑。而这本书是为了前者准备的，它跟一般的点集拓扑教材截然不同，作者不是单单地停留在点集拓扑的层面上的，而是在 part two 里面讲了Banach space 跟 Hilbert space 里面的各种理论。在 part three 他甚至拔高到了算子代数。有一说一，第一次在那里看到 Gelfand mapping 把一个 Banach algebra 的 MaxSpec 当成是点集空间的时候，我还是非常不适应的，后来才知道这是代数几何里面的基础...... 最开始我还不明白点集拓扑拿来有什么用，就严格定义一下数分里面的概念吗？这本书给了我一个方向。
这书的证明很详细，作者也讲解的很耐心，里面还有一张梳理拓扑空间的图

至于为代数拓扑奠基的点集拓扑教材，一般来说 Munkres 的是够了，但是他里面没有关于 function space 的内容，这至少在 Spanier 的代数拓扑书里面你是要知道的，这个你可以从 James Dugundji 的拓扑书里找到。
3. Algebra From the Viewpoint of Galois Theory by Siegfried Bosch

这本书我是超级后悔在大一的时候错过了，我学抽象代数用的是 Jacobson 的书，但是现在来看他的书写得不好。而这本 Bosch 的关于抽象代数的书，它的主题是 Galois theory，作者从最最基础的群的概念开始讲起，包含了群环域的介绍。然后这本书的重点来了——Galois 理论，全书 2/3 的内容都是关于 Galois 理论的。它有重点，一般的抽象代数写得都像字典一样，没有重点，完全就是抽象概念的堆砌。他对 Galois 理论的讲解可谓是深入浅出，从一般的域扩张到环的 integral extension，从一元高次方程的解法到一般多项式的解法——代数几何，从 Galois extension 到 Galois descent 其中包括了一些 Galois cohomology (Hilbert 90)，以及一般的 Kummer extension 跟 Witt 向量，还专门给出一章写 Galois 理论的应用，最后还讲了 Transcendental Field Extensions 跟 Kahler Differentials。
一般的抽象代数教材假如要追求高层次高观点的话基本都是介绍跟 module 相关的理论，或者简单地讲讲范畴论，但是这本书的角度跟前者是完全不同的，它就好比是从一个很具体的角度来提高基本抽象代数的层次，而且对于初学者而言，它可以让你知道 Galois 理论的现代发展是怎么样的，以及各种抽象代数在里面的运用。
如果说还有缺点的话，我想应该就是他讲的 Galois 理论还不是完整的，缺了 Grothendieck 在这里的工作，不过那就不算是入门教材了。事实上，我觉得他可以添加 etale algebra 的内容，从 Grothendieck 的角度来看 Galois 理论，至于它跟 fundamental group 的联系那就算了。关于这后者有一本非常有意思的书 Galois Groups and Fundamental Groups by Tamás Szamuely，那里面的内容基本是 SGA 1 里面的。
4. Algebraic Geometry and Commutative Algebra by Siegfried Bosch

也是同一个作者的书，我也是强烈推荐，我入门代数几何就是用的这本书。
前面一半内容是关于交换代数的，基本上该讲的他都讲了，而且很详细，基本上你不会在定理证明上卡住。不过这里没有讲 Hilbert 多项式，depth 和 Cohen-Macaulay Rings 之类的内容，但也基本涵盖了 Atiyah 那本书的知识，还有同调代数的内容(至少可以让你知道 resolution)。最重要的是，作者非常的有想法！他的理论介绍体系跟市面上的大多数类似的书是不一样的！比如在讲 flat 的时候，初级的教材谁会讲 faithfully flat，讲 faithfully flat descent？虽然讲了一些高深的内容，但是这书的门槛极低，基本上知道群环域就可以看懂了，也就是前面那本书的前三章。
总得来看这本书书 Qing Liu 那本前半部分的人加细版，但是 Bosch 处理得更加细致，更加老道。看过 Qing Liu 那本书的人不知道有没有这样的感受(我有)，它好像就是概念跟定理的堆砌，标准地先给出概念然后例子，然后定理，最后习题，没有什么 motivation。Bosch 的书可能讲的领域不广，但是它的深度却让人惊讶。
之后到代数几何部分的时候，我直接看到兴奋，再说一次，作者写教科书太有想法了！首先他是跟 Qing Liu 一样，跳过 variety 讲 scheme，初学者不是觉得这样没有 motivation 嘛，那他就给你造出一个来，从交换代数就一直在铺垫的 functorial point 现在才真正显示出威力。在 Part two 的导论部分，借助 Yoneda&#39;s Lemma 以及 scheme 作为一个函子的观点，他详细讲了里面的 functorial 性质，然后把这个作为 motivation，讲了局部化对于 solution functor(其实是 scheme！)有什么要求，然后自然地引出 scheme 的定义。scheme 本来就不是为了什么几何直观，而完全是为了 functorial！当时我就惊到了... 从这里大家也许可以感受到了这本书的风格——对，作者几乎不强调几何直觉... 里面的例子也少，完全不比52，但是他把一切你应该知道的东西都放在了理论本身的发展里面，他不是要你从例子中学会代数几何，而是要你在代数几何理论本身的发展中学会它。可能这跟作者是搞算术几何(主要是 rigid geometry)有关系吧。
另外，这本书非常贴近 EGA，不管是定义还是理论发展的模式，最典型的当然是 immersion 的定义，以及 valuative criteria on separateness 的阐述。他完全是按照 Grothendieck，把条件放在 morphism 上，而没有给 scheme 另外加上比如 locally Noetherian 的条件。
讲 sheaf 的时候也让人激动不已，他的 sheafification 不是用一般的方法，而是按照讲 etale cohomology 时的方法，也就是说这个 sheafification 适用在 Grothendieck topology 里面！把它定义为 0th Cech cohomology！这种方法在基础代数几何教材里面根本不可能遇到的，但是在讲 etale 的时候我们只能用这个办法，因为 etale topology 是 Grothendieck topology 而不是一般的拓扑空间里的拓扑。
另外，他还讲了一般情况下的 smooth 的 Jacobian 判别，etale morphism等等。最后一章从 projective scheme 讲到 Cartier divisor、ample and very ample invertible sheaves 以及 abelian variety。很新鲜的是，他的 ample invertible sheaves 的定义是用 quasi-affine scheme。
缺陷：这书除了例子少以外还有一个缺点就是关于 cohomology 的内容讲的不多，就讲了两节，一节是 cech，一节是 sheaf cohomology。自然，里面也没有介绍谱序列在其中的用法。我这里推荐补充读物，除了标准的 EGA III 外，可以考虑扶磊的代数几何的第二部分，以及 Mumford 最新出版的代数几何II 的第7章跟第8章，那里讲得深入不少(包括了使用 Leray spectral sequence)。
Bosch 还写过或者合著过 Non-Archimedean Analysis A Systematic Approach to Rigid Analytic Geometry、Néron Models、 Lectures on Formal and Rigid Geometry。事实上他受 Michel Raynaud 的影响还是很大的，不管是研究领域还是风格。最后那本讲 formal and rigid geometry 的书保持了他一贯的风格，抽象而又清楚明白，例子少，但是你却可以从理论本身的发展中学到很多东西。
5. Algebraic Geometry by Lei Fu

现在确认了，扶磊的这本书应该单独推荐一下。第一次接触它是在上个学期的凝聚层上同调的讨论班里面。这个讨论班很有意思，说是讲凝聚层上同调，其实到了期末才到上同调，一学期基本只讲了扶磊这书的第一章。因此让我错过了它的第二章。有一说一，这本书第一章写得真的不好，想在 gtm52跟 EGA 之间综合，结果两边都不讨好，有些定义来自52，又有些来自 EGA，证明也两边讨好。但是第二章完全是按照 EGA III 的格式来的，而且还原得很好，虽然内容不如 EGA III 丰富。
首先第二章前面两节，一节讲导出函子，一节讲谱序列，这是对 Tohoku 非常好的解读跟总结，Grothendieck 在 Tohoku 里面的 gap 作者基本都填上了，有时候 Grothendieck 一句话带过的命题，作者也给出了详细的证明。后边讲 scheme 的上同调部分，也涵盖了 EGA III 里面大多数重要的内容，比如 Zariski main theorem。由于思路是按照 EGA 来的，而且填上了 gap，因此非常好读。
缺点：缺少例子。这本书跟 EGA 的风格差不多，因此缺乏例子，里面基本都是定理跟证明，就算是例子也是来自 EGA，比较抽象的那种。

6. Sheaf Theory by B. R. Tennison

这本书比较基础，算是对传统 sheaf theory 的简单介绍，里面包括了 cech cohomology 以及 sheaf cohomology。最开始我是因为厌烦了 Rotman 同调代数里面对 sheaf 的讲解，然后才看这本的，后来觉得这本书写得确实不错，很基础，各种东西都给你讲明白了。里面也有用 ringed space 给各种几何对象比如 smooth manifold、Riemann surface、complex manifold等下定义。
要说缺点的话，我想应该就是这本书的内容太基础了，刚到让人兴奋的地方就戛然而止，这跟 Bosch 完全不同，后者是让你兴奋过头。因此对于这本书我觉得应该配上补充的读物，而最适合的其实是 Topologie algébrique et théorie des faisceaux by Roger Godement ，太多太多关于传统 sheaf theory 的书基本都是照搬 Godement 的，还有，数学的法语阅读其实不难。假如实在不想看法语的书，也可以考虑Cohomology of Sheaves by Birger Iversen，他讲了很多 sheaf 在其他领域的应用，比如 de Rham cohomology 可以用 sheaf 来导出，不过这书有点厚，也有点难... 毕竟主要内容是关于 Borel—Moore homology 的。
7. Sheaves in Geometry and Logic a First Introduction to Topos theory by Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk

这本书非常经典，我觉得是最好的入门 topos 的书。作者把 topos 的背景以及发展讲的很好，尤其是 Lawvere 创建 elementary topos 那部分内容。他们从初级的范畴论开始讲起，默认读者会 Yoneda lemma 这些基础内容，然后引出 subobject classifier。接着讲 sheaf，Grothendieck topology，从 Grothendieck topos 进入 elementary topos，讲了两者的联系以及相关背景，为什么 Lawvere 会借助 Grothendieck 的定义。之后他们讲了 topos 对传统集合论的解构以及重建，尤其是对力迫法的替换。最后则是拿 topos 来为各种对象分类，这也是它最主要的应用之一。像 Maclane 其他书一样，这本书可读性非常强，对读者的基础要求也不高，基本都是对范畴论的要求，而不要什么代数几何背景。
但是，这书也有缺点，由于两个作者都不是搞代数几何的，他们在第三章对 Site 跟 Grothendieck topos 的阐述刻意略去了代数几何的背景，我觉得这是非常可惜的。而且，他们对 Grothendieck topos 产生的背景我觉得也阐述不到位，这是不能不提到 etale 的。同时，他们把 Galois 理论跟基本群的相似现象想得太简单了，具体的内容可以看我的文章 The Origin of Etale Topology 。
8. Mathematics: Form and Function by Maclane

第一次接触这本书是大一下，这本书是我目前见到的在有关数学哲学的书里面对数学要求最高的，也是在数学书里面对哲学要求最高的。现在一般有关数学哲学的书以前都是有关欧氏几何的，现在都是集合论，都是些老生常谈的东西，那些作者根本没有从具体数学里面汲取形而上学的能力，他们有些甚至根本不知道现在的数学研究在干嘛。而 Maclane 本身就是很厉害的数学家，他身上哲学气质也很浓郁。这本书前面涉及了大部分的基础数学，比如点集拓扑、微分流形、黎曼几何之类的，尤其讲了范畴论的哲学。并且作者在最后几章里面阐述了自己的数学哲学思想，回答了很多经典问题，比如数学是被发现的还是被发明的，数学科学的分类是什么，数学的形式推理是从现实推导出来的吗或者说数学只是纯粹的游戏，数学是如何发展的，我们怎么评估一个数学成果的深度以及重要性等等。
我自认为，这样的书里面所得到的结果会更加可靠，那些不谈具体的数学研究，张口闭口就是什么哥德尔不完备定理表达了什么哲学、连续统假设有什么哲学意义之类的人，他们对数学发表看法究竟有多少可信度呢？虽然我很佩服 Wittgenstein，但我也承认他的《数学基础研究》对于数学而言没有什么价值，在那里他几乎不涉及现代数学，而把讨论都集中在语言层次上的。
9. From a Geometrical point of view：A Study of the History and Philosophy of Category Theory

这本书很有意思，作者把范畴论的起源追溯到 Klein 的埃尔朗根纲领，从而还原到了它的几何背景。里面史料内容非常丰富，有各种论文以及书信的内容，作者很人性化，法语或德语的内容给出了自己的翻译，同时在注释里给出了原文。这书对范畴论的研究还是非常深入的，从它的诞生到 Lawvere 的 elementary topos，介绍了现代的 Geometric Logic，中间大部分内容的重点是 Kan 研究出来的 adjoint。准确地说，这本书不是休闲书，而是一本研究型的专著，参考文献之类的都非常详实准确。而且，在讲 elementary topos 的时候，他基本把 Lawvere 前期的论文挨个分析了一遍，因此这本书也能当作研究 Lawvere 思想的著作。
虽然我没把这本书看完，但是感觉作者虽然说是从几何角度看待范畴论，但是他好像就只是追溯到了埃尔朗根纲领，以及说几何逻辑里面的 topos 从代数几何中诞生，然后基本没有什么纯粹的几何内容了。事实上，我认为范畴论不单单有所谓的几何背景，它更多的其实反映了我们对空间的理解，尤其是对空间延展性的理解。这部分也是我最近主要思考的内容，之前那则借助海德格尔哲学里面的两个概念——“上手状态”和“在手状态”来得到点集拓扑起源的想法算是这思考的成果之一。

（未完待续)